2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第16题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第18题
（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长。
如图：以点为圆点建立空间直角坐标系，依题意得：
，，，，。
（Ⅰ）易得，，
于是，所以：
（Ⅱ），，
设平面的法向量，
则，即
不妨令，可得。
可取平面的法向量。
于是
从而。
所以二面角的正弦值为。
（Ⅲ）设点的坐标为，其中
由此得，由
故：，
所以，，
解得：，即
本题考查两条直线的位置关系，二面角，异面直线所成的角，直线与平面垂直以及空间向量的应用。
建立合适的坐标系后写出各点坐标，
（Ⅰ）证明两直线垂直，即证对应的向量数量积为；
（Ⅱ）利用向量的二面角公式可求出夹角余弦值，从而可求出正弦值；
（Ⅲ）设出点坐标，借助已知条件列出方程，求出点坐标后，代入两点距离公式即可得出的长。
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