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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题

(2012陕西卷计算题)

(本小题满分13分)

某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时。

(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待分钟开始办理业务的概率;

(Ⅱ)表示至第分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题
【答案】

表示客户办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:

(Ⅰ)表示事件“第三个顾客恰好等待分钟开始办理业务”,则时间对应三种情形:第一个顾客办理业务的时间为分钟,且第二个顾客办理业务的时间为分钟;第一个顾客办理业务的时间为分钟,且第二个顾客办理业务的时间为分钟;第一个顾客办理业务的时间和第二个顾客办理业务的时间均为分钟。

所以

(Ⅱ)所有可能的取值为0,1,2。

对应顾客办理业务所需的时间超过2分钟,

所以

对应顾客办理业务所需的时间超过1分钟,

所以

所以的分布列为

【解析】

本题考查统计问题中概率的计算,以及利用分布列求解期望。

(Ⅰ)分类讨论,共有三种情况:①第一位3分钟,第二位1分钟。②第一位1分钟,第二位3分钟。③前两位均为2分钟。同一事件中应用乘法定律,事件之间应用加法定律,解出事件概率。

(Ⅱ)求出各个取值时时间对应的概率值,列出分布列,应用期望公式解出期望值。

【考点】
随机变量及其分布事件与概率
【标签】
直接法分类讨论思想
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