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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第23题

(2012陕西卷计算题)

(本小题满分14分)

设函数

(Ⅰ)设,证明:在区间内存在唯一的零点;

(Ⅱ)设,若对任意,有,求的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设内的零点,判断数列的增减性。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第23题
【答案】

(Ⅰ)

因为,所以内存在零点。

又当时,

所以上是单调递增的,

内存在唯一零点。

(Ⅱ)当时,

对任意都有等价于上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:

(i)当,即时,

,题设矛盾。

(ii)当时,即时,

恒成立。

(iii)当时,即时,

恒成立。

综上可知,

(Ⅲ)设内的唯一零点,

的零点内,故

所以数列是递增数列。

【解析】

本题主要考查函数的性质,导数的计算,以及导数在函数研究中的应用。

(Ⅰ)代入,写出函数的解析式,首先通过证明内存在零点,然后证明上单调,则可证得“内存在唯一零点”。

(Ⅱ)代入,写出函数解析式,为二次函数。问题“任意,有,求的取值范围”可转化为“求在上,使函数满足最大值与最小值之差小于等于的取值范围”。结合二次函数图像性质,分类讨论,求出的取值范围。

(Ⅲ)因为内的零点,所以有一定有。再将代入得,求解,若,则左端,数列为递增数列;若,则右端,数列为递减数列。

【考点】
函数与方程数列概念与简单表示法导数的运算导数在研究函数中的应用
【标签】
直接法分类讨论思想数形结合函数与方程的思想
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