2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题<-->返回列表
(本小题满分14分)
设函数,,。
(Ⅰ)设,,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(Ⅱ)设,若对任意,有,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性。
(Ⅰ)。
因为,所以在内存在零点。
又当时,,
所以在上是单调递增的,
故在内存在唯一零点。
(Ⅱ)当时,。
对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:
(i)当,即时,
,题设矛盾。
(ii)当时,即时,
恒成立。
(iii)当时,即时,
综上可知,。
(Ⅲ)设是在内的唯一零点,
则的零点在内,故,
所以数列是递增数列。
本题主要考查函数的性质,导数的计算,以及导数在函数研究中的应用。
(Ⅰ)代入,,写出函数的解析式,首先通过证明在内存在零点,然后证明在上单调,则可证得“在内存在唯一零点”。
(Ⅱ)代入,写出函数解析式,为二次函数。问题“任意,有,求的取值范围”可转化为“求在上,使函数满足最大值与最小值之差小于等于的的取值范围”。结合二次函数图像性质,分类讨论,求出的取值范围。
(Ⅲ)因为是在内的零点,所以有,一定有。再将代入得,求解,若,则在左端,数列为递增数列;若,则在右端,数列为递减数列。
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