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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第21题

(2012陕西卷计算题)

(本小题满分10分)

已知椭圆,椭圆的长轴为短轴,且与有相同的离心率。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设为坐标原点,点分别在椭圆上,,求直线的方程。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第21题
【答案】

(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为

其离心率为,故,则

故椭圆的方程为

(Ⅱ)两点的坐标分别记为

及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,

因此可设直线的方程为

代入中,得,所以,

代入中,得,所以,

又由,得,即,解得

故直线的方程为

【解析】

本题主要考查椭圆与直线方程的计算。

(Ⅰ)由椭圆的方程,解出的长轴长即为的短轴长,解出的离心率,列出方程组求解值,写出椭圆的方程。

(Ⅱ)设出两点坐标,由向量的线性运算性质可知,表示三点共线,则直线为过原点的直线,所以可直接设直线。将直线方程与椭圆方程联立,解出两点坐标,代入求解值,进而求出直线的方程。

【考点】
向量的应用圆锥曲线直线与圆锥曲线直线与方程
【标签】
直接法
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