2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第22题
(本小题满分10分)
已知椭圆:,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为坐标原点,点,分别在椭圆和上,,求直线的方程。
(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为,
其离心率为,故,则,
故椭圆的方程为。
(Ⅱ),两点的坐标分别记为,,
由及(Ⅰ)知,,,三点共线且点,不在轴上,
因此可设直线的方程为。
将代入中,得,所以,,
又由,得,即,解得,
故直线的方程为。
本题主要考查椭圆与直线方程的计算。
(Ⅰ)由椭圆:的方程,解出的长轴长即为的短轴长,解出的离心率,列出方程组求解的值,写出椭圆的方程。
(Ⅱ)设出两点坐标,由向量的线性运算性质可知,表示,,三点共线,则直线为过原点的直线,所以可直接设直线为。将直线方程与椭圆和方程联立,解出,两点坐标,代入求解值,进而求出直线的方程。
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