2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第21题
(本小题满分12分)
(Ⅰ)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真。
(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)
(Ⅰ)如图,记,为直线上异于的任意一点,过作,垂足为,则。因为,,所以直线。又,平面,,所以平面。又平面,故。
(Ⅱ)逆命题为“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”,逆命题为真。
本题主要考查直线与平面位置关系的判定以及命题关系的证明。
(Ⅰ)此问应用三垂线定理,做出辅助线,设为直线一点,上过作。因为在上,则可证得平面,则得证。
(Ⅱ)逆命题为“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”,做出同样的辅助线,由,得平面,则得证。所以逆命题为真。
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