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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第20题

(2012陕西卷计算题)

(本小题满分12分)

(Ⅰ)如图,证明命题“是平面内的一条直线,外的一条直线(不垂直于),是直线上的投影,若,则”为真。

(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)如图,记为直线上异于的任意一点,过,垂足为,则。因为,所以直线。又平面,所以平面。又平面,故

(Ⅱ)逆命题为“是平面内的一条直线,外的一条直线(不垂直于),是直线上的投影,若,则”,逆命题为真。

【解析】

本题主要考查直线与平面位置关系的判定以及命题关系的证明。

(Ⅰ)此问应用三垂线定理,做出辅助线,设为直线一点,上过。因为上,则可证得平面,则得证。

(Ⅱ)逆命题为“是平面内的一条直线,外的一条直线(不垂直于),是直线上的投影,若,则”,做出同样的辅助线,由平面,则得证。所以逆命题为真。

【考点】
命题及其关系点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法直接法
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