2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第22题
（本小题满分13分）
如图，椭圆：（）的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线：（）与椭圆有两个不同的交点、，与矩形有两个不同的交点、，求的最大值及取得最大值时的值。
（Ⅰ）①，矩形面积为8，即②，由①②解得：，，所以椭圆的标准方程是：。
（Ⅱ）联立，设，，则，，由得。。当过点时，，当过点时，。
①当时，有，，，，其中，由此知当，即当时，取得最大值；
②由对称性，可知若，则当时，取得最大值；
③当时，，，由此知，当时，取得最大值。
综上可知，当和时，取得最大值。
本题主要考查椭圆及直线与椭圆相交等相关知识。
（Ⅰ）由，，，可以解得椭圆方程。
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，可得出含有参数的表达式，根据直线与椭圆有两不同交点可知，判别式大于，由此得出的取值范围为：。对于直线与矩形相交，可得出交点、的坐标。考虑到当时，恒成立，以此为依据将的取值范围分为，，，分别讨论不同情况下的最大值即可。
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