2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ），其中为的导函数，证明：对任意，。
（Ⅰ）由，得，。
由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，。
令，。
当时，；当时，。
又，所以时，；
时，；
因此，的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，故只需证明在时成立。
当时，，且，所以。
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值。
所以。
综上，对任意，。
本题主要考查函数及其导数的相关知识。
（Ⅰ）由题意可知，，代入的导函数，即可求得的值。解答本题的关键是正确求出的导函数，并理解曲线在处的切线与轴平行的含义。
（Ⅱ）对于连续函数的单调区间，只需求得，的解集即可。本题因为，所以，只需考虑，在和时的解集即可。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，所以只需考虑时的情况即可，如果能想到当时，，且，，能很快得出结论。
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