2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第18题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第20题
（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，。已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点；
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值。
（1）由题设知，，由点在椭圆上，得，
解得，于是，
又点在椭圆上，所以，即，解得。
因此，所求椭圆的方程是。
（2）由（1）知，。
又直线与平行，所以可设直线的方程为，直线的方程为，
设，，，，
由得，解得，
故
同理，
（i）由①②得。
解得。注意到，故，所以直线的斜率为。
（ii）因为直线与平行，所以，于是，
故，由点在椭圆上知，从而；
因此，
又由①②知，，
所以，因此，是定值。
本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线方程的计算。
（1）由离心率公式、已知的椭圆上的点的坐标，求出椭圆方程。
（2）由（1）问所求的椭圆方程列出、，由直线与直线平行，即斜率相等，设出直线方程。求出坐标。
（i）求出的表达式，代入，解出直线的斜率。
（ii）运用//的几何关系和“椭圆上一点到两焦点的距离和为”，推导并用来表示；之后运用的表达式来推导证明为定值。
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