2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第21题
（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列和满足：。
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）设，且是等比数列，求和的值。
（1）由题设知，所以，
从而，所以数列是以为公差的等差数列。
（2）因为，，所以，
从而
设等比数列的公比为，由知，
下证：
若，则，故当时，，与矛盾。
综上，，
故，所以，又，
所以是公比为的等比数列，
若，则，于是，又由得，
所以中至少有两项相同，矛盾。
所以，从而。
所以。
本题主要考查数列的基本运算。
（1）由，配凑推导证明出。
（2）运用反证法证得的公比，又由，则也为等比数列，通过反证法证明的公比，则导出。此问已知条件较少，若仅设出公比写出数列的通项公式也不能解出和的值，但如果数列公比为，通项公式即等于首项，所以应当向“数列的公比为”方向考虑。
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