2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题
（本小题满分16分）
若函数在取得极大值或者极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，和是函数的两个极值点。
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数。
（1）由题设知，且，，解得。
（2）由（1）知，因为，所以的根为，，
于是函数的极值点只可能是或。
当时，，
当时，，故是的极值点，
当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。
（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，
先讨论（）的零点，即与的交点的个数：
时，由图象得的零点为和；
时，由图象得的零点为，，；
时，由图象得的零点分别在，，三个区间内；
时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。
令，现在考虑（）的零点：
当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。
当时，有三个不同的根，，，满足，，，，而（，，）有三个不同的根，故有个零点。
综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值。
（2）由（1）问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真假后列出结果。
（3）先结合图象分类讨论（）的零点，再令，分类讨论（）的零点。
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