2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第21题
（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的，，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）。已知每个工人每天可生产部件6件，或部件3件，或部件2件。该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）。
（Ⅰ）设生产部件的人数为，分别写出完成，，三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。
（Ⅰ）设完成三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为，
由题设有 ，，，
其中均为1到200之间的正整数。
（Ⅱ）完成订单任务的时间为，
其定义域为。
易知，为减函数，为增函数。
注意到，于是：
（1）当时， ，此时，
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。
由于，而。
故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为。
（2）当时， 由于为正整数，故，此时
。
记，易知为增函数，则
由于，而
此时完成订单任务的最短时间大于。
（3）当时， 由于为正整数，故，
此时，由函数的单调性知，
当时取得最小值，解得。类似（1）的讨论。
此时完成订单任务的最短时间为，大于。
综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产，，三种部件的人数分别为44，88，68。
本题主要考查函数模型的应用。
（Ⅰ）根据已知条件找出与的关系即可，并注明定义域。
（Ⅱ）任务完成的时间即三种订单各自完成时间中的最大值,求出三者各自完成所需的时间，根据进行分类讨论求最值即可。
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