2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第18题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，记，，，。
（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式。
（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。
（Ⅰ）对任意，三个数是等差数列，所以，即，亦即，故数列是首项为1，公差为4的等差数列。于是。
（Ⅱ）（1）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有。由知，均大于0，于是：， ，即，所以三个数组成公比为的等比数列。
（2）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是，得即。由有，即，从而。因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。
本题主要考查等差数列和等比数列的性质。
（Ⅰ）成等差数列得，化简得，故数列是首项为1，公差为4的等差数列。
（Ⅱ）分为充分性和必要性两个步骤。证必要性时，只需证明；证充分性时，利用即可。
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