2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第22题
（本小题满分13分）
在直角坐标系中，曲线上的点均在圆：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值。
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值。
（Ⅰ）法一：设的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以，化简得曲线的方程为。
法二 ：由题设知，曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为。
（Ⅱ）当点在直线上运动时，的坐标为，又，则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为即。于是，整理得
设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
由得
设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以
同理可得
于是由②，④，⑤三式得
所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值。
本题主要考查圆锥曲线方程的综合运用。
（Ⅰ）点到直线的距离为，点到圆上点的距离的最小值为，其中为圆的圆心。由已知条件可得，于是联立解得曲线的方程。
（Ⅱ）过点引圆的两条切线，其斜率设为，则圆的圆心到这两条直线的距离为3。据此可得到一个一元二次方程，通过韦达定理解得的值。再将切线方程与曲线的方程联立，再次通过韦达定理解得，同理解得。然后得到的表达式，再将的值代入，便可得到结论。
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