2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第19题
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积。
法一：（Ⅰ）如图：
连接，由，，，。又，是的中点，所以。因为平面，平面，所以 。而，是平面内的两条相交直线，所以平面。
（Ⅱ）过点作，分别与相交于，连接。由（Ⅰ）平面知，平面.于是为直线与平面所成的角，且。由平面知，为直线与平面所成的角。，由题意，知，因为，所以。由知，，又，所以四边形是平行四边形，故。于是。在中，，所以，于是。又梯形的面积为，所以四棱锥的体积为。
法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，则相关的各点坐标为：，，，，，。
（Ⅰ）易知，。因为，所以而是平面内的两条相交直线，所以平面 。
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是平面，平面的法向量，而与平面所成的角和与平面所成的角相等，所以，即。由（Ⅰ）知，，由，故，解得。又梯形的面积为，所以四棱锥的体积为 。
本题主要考查点线面的位置关系及建系法的应用。
（Ⅰ）证明直线垂直于平面即证明直线和平面内的两条相交直线垂直。本题中。
（Ⅱ）由于平面，故考虑使用建系法，以为原点建立坐标系，设，利用向量的数量积求出与平面所成的角及与平面所成的角，列方程解出，。
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