2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第22题
（本小题满分13分）
设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足（，且）。当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线。
（I）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）如图：
设，，则由（， 且），
可得，，所以
因为点在单位圆上运动，所以
将①式代入②式即得所求曲线的方程为（，且）。
因为，所以
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，；
两焦点坐标分别为，。
（Ⅱ）如图：
，设，，则，
直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得
。
依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即。
因为点在直线上，所以。
于是，。
而等价于，
即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。
本题主要考查圆锥曲线的方程求解以及给定条件求参数的问题。
（Ⅰ）根据点在单位圆上以及这一关系可求得曲线方程，由此可知焦点坐标；
（Ⅱ）设出所有特殊点的坐标以及直线方程，根据题目所给出的特殊几何关系化为与有关的表达式，得到未知量之间的等式关系，求解即可得到的值。
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