2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且。求的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设为正有理数，若，则；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当为正有理数时，有求导公式：。
（Ⅰ），令，解得。
当时，，所以在内是减函数；
当 时，，所以在内是增函数。
故函数在处取得最小值
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即
若中有一个为0，则成立；
若均不为0，又，可得，于是在①中令，可得，
即，亦即。
综上，对，为正有理数且，总有
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设为非负实数，为正有理数。
若，则
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，有，③成立。
（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，
且，则。
当时，已知为非负实数，为正有理数，
且，此时，即，于是
。
因，由归纳假设可得
从而。
又因，由②得
故当时，③成立。
由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立。
本题主要考查导数的运算以及导数在研究函数单调性中的应用和考生对数学归纳法的灵活应用程度。
（1）本题应该先对进行求导得到，令解得函数的极值点，进而判断函数单调性，求得的最值即可。
（2）根据（1）中的结论，得到。若中有一个为0，则欲证不等式成立；若均不为0，则考虑对进行适当的换元，令便可证明该不等式。（3）数学归纳法首先应该考虑是是成立的，再假定该条件对，最后将其推广到对时成立即可。在本题中最关键的一步为将欲证条件中的项转化为项，再利用当时成立的条件得到一个不等式即
这样再利用（2）中已经证明的结论得到
然后便可证明当时成立，即命题得证。
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