2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第18题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第20题
（本小题满分14分）
已知函数，，其中。
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的，在区间内均存在零点。
（Ⅰ）当时，，，，。
所以曲线在点处的切线方程为：。
（Ⅱ），令，解得：或。
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若，则，当变化时，
，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是，， 的单调递减区间是。
（2）若，则，当变化时，的符号变化，的变化情况如下表：
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在内单调递减，在内单调递增。
分以下两种情况讨论：
（1）当，即时，在内单调递减，，，
所以对任意的，在区间内均存在零点。
（2）当，即时，在内单调递减， 在内单调递增。
若，，，所以，在内存在零点。
若，，，在内存在零点。
所以，对任意，在区间内存在零点。
综上所述：对任意，在区间内均存在零点。
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
（Ⅰ）求出导数，令，可得切线斜率为，又直线过点，故切线方程为。
（Ⅱ）求出导数，对和两种情况分类讨论，分别根据单调性求出单调区间。
（Ⅲ）当时，在内单调递减，在内单调递增；然后对和两种情况分类讨论，证明在区间中存在两点满足即可。
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