2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第19题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知数列与满足：，，，且。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设为的前项和，证明：。
（Ⅰ）由（）可得。
又，可得
当时，，可得；
当时，，可得。
（Ⅱ）对任意，
①
②
②-①得：，
即：，于是，所以是等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：当，且时，
故对任意，。
由①得：，所以，。
因此：，
于是：。
。
所以，对任意，
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。
（Ⅰ）讨论是奇数和是偶数两种情况，可得到，再把依次代入即可求得。
（Ⅱ）讨论是奇数和是偶数两种情况，可把化为和，两式相减，可求出的通项公式，进而可以证明是等比数列。
（Ⅲ）分别求解出和，代入不等式左边，令相邻两项合并，对式子进行化简，放缩即可证明。
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