2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第17题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第19题
（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为，满足。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程。
（Ⅰ）设，，因为，所以，整理得，得（舍），或，所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可得椭圆方程为，直线的方程为。，两点的坐标满足方程组为，消去并整理，得，解得：，，得方程组的解和。不妨设：，，所以。于是。圆心到直线的距离为。因为，所以，整理得：，得（舍），或，所以椭圆方程为：。
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识以及用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想。
（Ⅰ）由及两点间距离公式可建立等式，消去，即可求解出，主要两个根的的要舍去。
（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得，从而得到椭圆的方程。
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