2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第22题
（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元。设该容器的建造费用为千元。
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的。
（Ⅰ）由题意可知，即，则。容器的建造费用为，即，定义域为；
（Ⅱ），令，得。令即。
（1）当时， ，当时，，函数为减函数，当时有最小值；
（2）当时，，当时，；当时。
此时当时有最小值。
本题主要考查函数以及导数在研究函数性质中的应用。
（Ⅰ）根据容器的容积为平方米，可建立等式（*），根据容器的建造费用=圆柱形部分建造费用+半球形部分建造费用，即可建立关于和的表达式，利用（*）式消去即可。
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导，利用导数分类讨论函数的单调性，从而求出容器建造费用最小时的。
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