2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{3} + y^2=1$。如图所示，斜率为$k(x>0)$且不过原点的直线$l$交椭圆$C$于$A,B$两点，线段$AB$的中点为$E$，射线$OE$交椭圆$C$于点$G$，交直线$x=-3$于点$D(-3,m)$。
（Ⅰ）求$m^2+k^2$的最小值；
（Ⅱ）若$|OG|^2=|OD|\cdot|OE|$，
（i）求证：直线$l$过定点；
（ii）试问点$B$，$G$能否关于$x$轴对称？若能，求出此时$ \triangle ABC$的外接圆方程；若不能，请说明理由。
【出处】
（Ⅰ）设直线的方程为，由题意，，方程组，得：。由题意，所以。设，由韦达定理得，所以。由于为线段的中点，因此，此时，所以所在的直线方程为。又由题设知，令，得，即 ，所以，当且仅当时上式等号成立，此时 由得，因此 当时，取最小值。
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知所在的直线方程为，将其带入椭圆的方程，并由，解得，又，，由距离公式及，得
，，，由得，因此 直线的方程为，所以 直线恒过定点。
（ii）由（i）得，若，关于轴对称，则。代入整理得，
即，解得（舍去）或，所以，此时，关于轴对称。又由（Ⅰ）得，所以，由于的外接圆的圆心在轴上，可设的外接圆的圆心为，因此，解得，故的外接圆的半径为，所以的外接圆方程为。
本题主要考查平面几何中直线、椭圆知识的综合应用。
（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点坐标，再根据三点共线建立等式，即可求出，再利用均值不等式即可求出最小值。
（Ⅱ）
（i）通过联立直线和椭圆方程求得点坐标，再利用的纵坐标关系表示，结合（Ⅰ）中的，可求得，故直线方程为，故直线过定点。
（ii）假设关于轴对称，则有的外接圆的圆心在轴上，又在线段的中垂线上，利用（i）中结果建立等式，可求出，再求得圆心，半径即可得到的外接圆的方程。
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