2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于、两点，并与轴交于点，直线与直线交于点。
（1）当时，求直线的方程；
（2）当点异于、两点时，求证：为定值。
（1）由已知可得椭圆的方程为，
设的方程为，为的斜率，设，
则
故 且，
所以 ，
所以的方程为或。
（2）当直线与垂直时与题意不符。
设直线的方程为且且，所以点坐标为。
设，由（1）知，
直线的方程为，直线的方程为。
将两方程联立消去得，
因为，所以与异号。
又 ，
所以与 异号，与同号，所以，解得，因此点坐标为，
，故为定值。
本题主要考查圆锥曲线中的几何关系。
（1）由两点间的距离公式可知，要求出、的坐标，故可设直线方程再与椭圆方程联立，用韦达定理即可得到、横坐标之间的关系，再代入即可求解直线方程。
（2）需先将特殊情况排除，再用向量法求解，即设出直线的方程，联立椭圆方程用韦达定理表示出坐标之间的关系，再代入的计算公式中即可得证。
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