2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数。
（1）设函数，求的单调区间与极值；
（2）设，解关于的方程；
（3）试比较与的大小。
（1）由知， 。
令，得当时，；当时，。
故当时，单调递减；当时，单调递增；所以是其极小值点，且极小值为。
（2）因为，故原方程可化为
即 等价于
故画出函数图象后，由方程与函数的思想讨论得：
①当时，原方程有一解；
②当时，原方程有两解；
③当时，原方程有一解；
④当或时，原方程无解。
（3）由已知得，
设数列的前项和为，且 ，从而有，
当时， ，
又
则对任意的，有，
又因为，所以，故。
本题主要考查函数的单调性以及导数的几何意义在函数中的应用。
（1）要求函数的单调区间，只需对求导即可判断其单调区间，根据导数的零点可代入求得的极值点；
（2）根据已知条件和所给方程代入可化为只含的方程，再进行求解即可，此处要注意题目中的隐含条件，的取值范围；
（3）先求出所求表达式的一般形式再根据已知形式进行分析即可，此处需要注意对这以特殊情况进行讨论。
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