2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第16题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第18题
（本小题满分12分）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的。
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：数列是等比数列。
（1）设成等差数列的三个数分别为，
则，解得，所以中依次为。
根据题意，，解得或（舍去），故的第三项为5，公比为2。
由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为。
（2）数列的前项和，
即，所以，，
故是以为首项，以为公比的等比数列。
本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式。
（1）由等差数列的性质可设三个正数为，利用三个数之和为15建立等式可求得，再利用三个数分别加上后成为等比数列的建立等式，可求得，进而可求得数列的通项公式。
（2）利用等比数列前项和公式求得，再求得通项，从而可证明是等比数列。
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