2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第21题
（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设，
（i）若直线与平面所成的角为，求线段的长；
（ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由。
（Ⅰ）因为平面，平面， 所以，
又因为，所以平面。
又因为平面，所以平面平面。
（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），
在平面内，作交于点，则，
在中，，
。
设，则，，
由，得，
所以，，，，。
（i）设平面的法向量为，由，，得
取，得平面的一个法向量，
又，故由直线与平面所成的角为，得
，
解得或（舍去，因为），所以。
（ii）假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等，
设（其中），
则，，，
由得，
两式联立消去，化简得，
由于该方程没有实数根，所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等。
本题主要考查点线面位置关系和空间向量在立体几何中的应用。
（Ⅰ）由线面垂直可以得到线线垂直，结合已知的线线垂直，可以得到垂直平面从而得到面面垂直。
（Ⅱ）使用空间直角坐标系，在空间直角坐标系中求出平面的法向量，然后根据线面角的值，列出关于线面角的含有参数的方程，求解出的长。然后假设存在这样的点，通过空间距离相等得到关于坐标的方程。若方程有解，存在这样的点，否则不存在。
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