三、命题趋势
    从上表可以看出近几年本章考查呈现以下特点：
    1、题型和题量：一般为一个小题和一个大题，小题主要考查导数的概念、四则运算及简单的应用，大题主要考查单调性、极值、最值问题及应用问题．
    2、知识点考查：考查的重点为用导数求函数的单调区间、极值、最值或已知函数的单调区间、极值、最值求参数的取值范围或参数的值．
    3、难度与创新：导数是近几年的教材中增加的内容，高考对这部分内容越考越难，出题的形式多种多样，大题逐步由中档题向综合题过渡．

    四、复习建议
    根据本章知识的重要性以及高考对本章内容的考查情况，复习时应注意以下几点：
    1、导数是中学内容中较为重要的知识．由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题．本章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识 ．因此，要掌握其概念，会求函数的导数，会用求导的方法判断或论证函数的单调性，会求函数的极值和最值，会用导数解决一些实际问题．
    2、要从实际背景出发了解导数的定义，及简单函数导函数的求法(用定义)并注意函数值的改变量要与自变量的改变量对应．
    3、通过适量运算，掌握简单函数导数的求法，并熟记常见函数的导数公式及求导法则．
    4、导数在研究函数的单调性、求函数最值两方面的应用是本章重点，尤其在解应用题时的作用更应引起重视．

    五、思想与方法综览

    1、函数与方程思想
    函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概 念、图象、性质、求导等对问题加以研究，使问题获得解决．函数与方程二者密切不可分，如函数的解析式${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 也可看成方程．函数与方程思想体现了动与静、 变量与常量的辩证统一，是重要的数学方法之一．
    例1（2006年北京）已知函数${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx}$在点${\displaystyle x_0}$处取得极大值5，其导函数${\displaystyle y=f\prime \left(x\right)}$的图象经过点(1,0),(2,0)，如图所示 ．求：
    (1)${\displaystyle x_0}$的值；
    (2)${\displaystyle a，b，c}$的值．
    解答：解法一：（1）由图象可知，在${\displaystyle （-00，1）上，f\prime \left(x\right)>0}$
    故${\displaystyle f\left(x\right)}$在${\displaystyle (-\infty ,1),(2,+\infty )}$上递增，在${\displaystyle (1,2)}$上递减．因此${\displaystyle f\left(x\right)}$在${\displaystyle x=1}$处取得极大值，所以${\displaystyle x_0=1}$
    (2)${\displaystyle f\prime \left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c，由f\prime \left(1\right)=0.f\prime \left(2\right)=0,f\left(1\right)=5,得\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 12a+4b+c=0\\ a+b+c=5\end{array}}$
    解得${\displaystyle a=2,b=-9,c=12}$
    解法二：(1)同解法一
    (2)设${\displaystyle f\prime \left(x\right)=m(x-1)(x-2)=m{x}^2-3mx+2m}$，又${\displaystyle f\prime \left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$
    所以${\displaystyle a=\frac{m}{3},b=-3\frac{m}{2},c=2m,f\left(x\right)=\left(\frac{m}{3}\right)x^3-\frac{3}{2}m{x}^2+2mx}$
    ${\displaystyle 由f\left(1\right)=5,即\frac{m}{3}-\frac{3}{2}m+2m=5,得m=6,所以a=2,b=-9,c=12}$．
    2、化归与转化思想
    化归与转化是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，化归为一类已经解决的或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解．化归与转化思想在数学中非常广泛，如未知向已知的转化， 新知识向旧知识的转化，复杂问题向简单问题的转化，实际问题向数学问题的转化等．
    例2 已知一列椭圆，若椭圆${\displaystyle C_n}$上有一点${\displaystyle P_n}$，使${\displaystyle P_n}$到右准线${\displaystyle l_n}$的距离${\displaystyle d_n}$是${\displaystyle \left|P_n{F}_n\right|与\left|P_n{G}_n\right|}$的等差中项，其中${\displaystyle F_n、G_n}$，分别是${\displaystyle C_n}$的左右 焦点．
    (1)试证：；
    (2)取${\displaystyle b_n=\frac{\sqrt{2n+3}}{n+2}}$，并用${\displaystyle S_n}$表示${\displaystyle \Delta P_n{F}_n{G}_n}$的面积，试证：
(n+1)(n>=3)${\displaystyle }$
    解答：(1)由题设及椭圆的几何性质有${\displaystyle 2d_n=\left|P_n{F}_n\right|+\left|P_n{G}_n\right|=2，故d_n=1}$
    设${\displaystyle c_n=\sqrt{1-b_n^2}，则右准线方程为l_n：x=\frac{1}{c_n}}$
    因此，由题意${\displaystyle d_n=1}$应满足，
    即解得，即
    从而对任意
    (2)设点${\displaystyle P_n}$的坐标为${\displaystyle (x_n,y_n)}$，则由${\displaystyle d_n=1}$及椭圆方程易知${\displaystyle x_n=\frac{1}{c_n}-1}$

    ${\displaystyle y_n^2=b_n^2(1-x_n^2)=(1-c_n^2)[1-{(\frac{1}{c_n}-1)}^2]=\frac{1}{c_n^2}(-2c_n^3+c_n^2+2c_n-1)}$．
    因为${\displaystyle \left|F_n{G}_n\right|=2c_n}$，故${\displaystyle \Delta P_n{F}_n{G}_n}$的面积为${\displaystyle S_n=c_n\left|y_n\right|}$,从而
    令${\displaystyle f\left(c\right)=-2c^3+c^2+2c-1}$，由${\displaystyle f\prime \left(c\right)=-6c^2+2c+2=0}$，得两根${\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{13}}{6}}$，
    从而易知${\displaystyle f\left(c\right)}$在${\displaystyle [\frac{1}{2},\frac{1+\sqrt{13}}{6})}$内是增函数，而在${\displaystyle (\frac{1+\sqrt{13}}{6},1)}$内是减函数．
    现在由题设取${\displaystyle b_n=\frac{\sqrt{2n+3}}{n+2}}$，则${\displaystyle c_n=\sqrt{1-b_n^2}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2},c_n}$是增数列 ．
    又易知，故由前已证知，且${\displaystyle S_n>S_n+1(n\ge 3)}$
    3、分类讨论思想
    分类讨论是重要的数学思想方法之一，它把受多种条件交叉制约、形成错综复杂的问题划分成若干个局部问题，在每一局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整 个问题也就解决了，分类讨论问题涉及面广、综合性强，在高考题中，从未间断对这一思想的考查．
    例3 已知函数${\displaystyle f\left(x\right)=-x^2+8x,g\left(x\right)=6lnx+m}$
    (1)求${\displaystyle f\left(x\right)}$在区间${\displaystyle [t,t+1]}$上的最大值${\displaystyle h\left(t\right)}$；
    (2)是否存在实数m，使得${\displaystyle y=f\left(x\right)}$的图象与${\displaystyle y=g\left(x\right)}$的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值 范围；若不存在，说明理由．
    解答：（1）${\displaystyle f\left(x\right)=-x^2+8x=-{(x-4)}^2+16}$
    当上单调递增．${\displaystyle h\left(t\right)=f(t+1)=-{(t+1)}^2+8(t+1)=-t^2+6t+7}$
    当
    当${\displaystyle t>4时，f\left(x\right)在[t,t+1]上单调递减，h\left(t\right)=f\left(t\right)=-t^2+8t}$
    综上，
    (2)函数${\displaystyle y=f\left(x\right)的图象与y=g\left(x\right)}$的图象有且只有三个不同的交点，即函数${\displaystyle \varphi \left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)}$的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点，所以${\displaystyle \varphi \left(x\right)=x^2-8x+6lnx+m,\varphi \prime \left(x\right)=2x-8+\frac{6}{x}=\frac{2x^2-8x+6}{x}=\frac{2(x-1)(x-3)}{x}(x>0)}$
    当${\displaystyle x\in (0,1)时，\varphi \prime \left(x\right)>0,\varphi \left(x\right)}$是增函数；
    当是减函数；
    当${\displaystyle x\in (3,+00)时，\varphi \prime \left(x\right)>0，\varphi \left(x\right)}$是增函数；
    当${\displaystyle x=1或x=3时，\varphi \prime \left(x\right)=0}$
    所以${\displaystyle \varphi \left(x\right)的极大值=\varphi \left(1\right)=m-7,\varphi \left(x\right)的极小值=\varphi \left(3\right)=m+8ln3-15}$
    因为当x充分接近0时，所以要使${\displaystyle ar\phi \left(x\right)}$的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须所以存在实数${\displaystyle x}$,使得函数${\displaystyle y=f\left(x\right)与y=g\left(x\right)}$的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为${\displaystyle (7,15-6ln3)}$
    4、构造思想
    “构造”是一种重要而灵活的思维方法．应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向．即为什么目 的而构造，二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．
    例4 已知${\displaystyle a、b}$为实数，且${\displaystyle b>a>e}$,其中${\displaystyle e}$为自然对数的底，求证${\displaystyle a^b>b^a}$
    分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．
    解答：${\displaystyle \because b>a>e,\therefore 要证a^b>b^a，只要证blna>alnb}$
   
    ${\displaystyle \therefore }$函数${\displaystyle f\left(b\right)=b•lna-alnb}$在${\displaystyle (e,+00)}$上是增函数．
    ${\displaystyle \therefore f\left(b\right)>f\left(a\right)即blna-alnb>alna-alna=0即blna-alnb>0,\therefore blna>alnb,a^b>b^a}$．
　

   二、知识梳理

    (一)知识要点
    1、导数的定义及其几何意义．
    (1)设函数y=f(x)在${\displaystyle x=x_0}$处附近有定义，则函数y=f(x)在${\displaystyle x=x_0}$处的导数为
    ${\displaystyle y\text{'}{|}_{x=x_0}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)－f\left(x_0\right)}{\Delta x}}$．
    (2)函数y=f(x)在${\displaystyle x=x_0}$处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点${\displaystyle (x_0，f\left(x_0\right))}$处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点${\displaystyle (x_0，f\left(x_0\right))}$处的切线斜率${\displaystyle k_{切}=f\text{'}\left(x_0\right)}$．
    (3)如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点处均有导数，则称函数${\displaystyle y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)}$为y=f(x)在(a，b)内导函数，简称导数，即有${\displaystyle y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)－f\left(x\right)}{\Delta x}}$，其中x∈(a，b)．
    (4)求函数y=f(x)导数的步骤．
    ①求函数的增量${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)－f\left(x\right)}$；
    ②求平均变化率${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)－f\left(x\right)}{\Delta x}}$；
    ③求极限${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}}$，得导数${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)}$．
    2、求导数的方法．
    (1)常用的导数公式．
    ${\displaystyle \left(C\right)\text{'}=O(C为常数)；\left(x^m\right)\text{'}=m{x}^{m-1}(m\in Q)}$；
    ${\displaystyle \left(sinx\right)\text{'}=cosx；\left(cosx\right)\text{'}=－sinx}$：
    ${\displaystyle \left(e^x\right)\text{'}=e^x；\left(a^x\right)\text{'}=a^x\text{ln}a}$：
    ${\displaystyle \left(lnx\right)\text{'}=\frac{1}{x}；\left({log}_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x}{log}_{a}e}$
    (2)两个函数四则运算的导数．
    ${\displaystyle (u\pm v)\text{'}=u\text{'}\pm b\text{'}；\left(uv\right)\text{'}=u\text{'}v+uv\text{'}；\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}(v\ne 0)}$．
    (3)复合函数的导数：${\displaystyle y_x\text{'}=y_u\text{'}•u_x\text{'}}$．
    3、导数的应用．
    (1)判断函数的单调性．设函数y=f(x)在区间(a，b)内有导数，如果${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)>0}$，则y=f(x)在(a，b)内是增函数；如果，则y=f(x)在(a，b)内是减函数．
    (2)求函数极值．
    ①设函数f(x)在点${\displaystyle x_0}$附近有定义，如果对${\displaystyle x_0}$附近所有的点，都有(或${\displaystyle f\left(x\right)>f\left(x_0\right)}$)，则说${\displaystyle f\left(x_0\right)}$是函数f(x)的一个极大值(或极小值)．
    ②设函数y=f(x)在某区间内可导，则求函数y=f(x)的极值的方法为：
    (i)求导数${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)}$；
    (ii)求方程${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=0}$的根；
    (iii)检查${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)}$在方程${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=0}$的根左右的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值．
    (3)求函数最大值或最小值．
    设函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在(a，b)内可导，则求函数y=f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤是：
    ①求y=f(x)在(a，b)内的极值；
    ②将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
    (二)考试要求
    1、了解导数概念的某些背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线斜率等)，掌握函数在某点处的导数的定义，掌握导数的几何意义，理解导函数的概念．能熟练地应用函数在某点处的导数定义求简单函数在某点处的导数，会用导数的几何意义求曲线的切线方程．
    2、熟记基本导数公式，掌握两个函数的四则运算求导法则，理解复合函数的求导法则，能够比较灵活地应用求导法则和基本导数公式求简单函数的导数．
    3、了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数方法判断函数的单调性，会求函数的单调区间．了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，会用导数的方法求函数的极值和最值，并能灵活地应用于解决最值的实际问题．
    4、本章渗透了运动变化的极限思想，运用了函数与方程、数形结合、等价转化、变量代换、函数建模等数学思想方法，体现了本章的复习重点和高考热点．
    (三)考点说明
    1、函数在某点处导数的实质是一个极限问题，函数值相对于某点处自变量的变化率，是某点处平均变化率的极限．
    2、运用复合函数的求导法则${\displaystyle y_x\text{'}=y_u\text{'}•u_x\text{'}}$，要把中间变量换成自变量的函数，“层层代换”，求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量，同时要分清每一步求导是哪一个变量对哪一个变量的求导．如函数${\displaystyle y={(x+\sqrt{x^2+1})}^2}$，若设${\displaystyle u=x+\sqrt{x^2+1}}$、${\displaystyle v=\sqrt{x^2+1}}$，${\displaystyle \omega =x^2+1}$，${\displaystyle t=x^2}$，则有复合关系为${\displaystyle y=u^2}$，${\displaystyle u=x+v}$，${\displaystyle v=\sqrt{\omega }}$，${\displaystyle \omega =t+1}$，${\displaystyle t=x^2}$，这样求导数就复杂多了．若设${\displaystyle u=x+\sqrt{x^2+1}}$，${\displaystyle v=x^2+1}$，则复合关系为${\displaystyle y=u^2}$，${\displaystyle u=x+\sqrt{v}}$，${\displaystyle v=x^2+1}$，显然求导计算就简单多了．
    3、极值是局部性概念，最值是全局性概念，因而极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值．但如果连续函数在开区间内只一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

    §14.2 导数的综合运用 (1)

    2、第一轮基础训练 (1)

    3、第一轮单元训练 (1) (2)