三、特别提示
    (1)正确理解曲线的切线的定义，即过曲线${\displaystyle y=f\left(x\right)}$上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点P处的切线，可见在解析几何中，求圆（或椭圆）的切线时，用方程联立消元后一元二次方程的判别式${\displaystyle \Delta =0}$来解的方法不能扩展到一般情况，曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定就一个．
　　(2)正确理解导数的定义，导数是函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在${\displaystyle x=x_0}$处的一个局部性质，它是一个极限值，是一个确定的定值，若${\displaystyle \underset{\Delta \to 0}{lim}\Delta \frac{y}{\Delta }x}$存在，函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$处就有导数，否则，就没有导数．
　　(3)弄清“函数在一点${\displaystyle x_0}$处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系．
    ①函数在一点处的导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$是一个常数，不是变量．
    ②函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的 ．函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在区间(a,b)内每一点都可导，是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值${\displaystyle x_0}$，都对应着一个确定的导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$，根据函数的定义，在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数，就是函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的导函数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$．
    ③函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$处的导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$就是导函数${\displaystyle f＇\left(x\right)}$在点${\displaystyle x=x_0}$处的函数值，即${\displaystyle }$f＇(x_0)= f＇(x)|_x=x_0${\displaystyle ．}$
　　(4)导数与连续性的关系：若函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在${\displaystyle x_0}$处可导，则此函数在${\displaystyle x_0}$处一定连续，但逆命题不成立，故连续是可导的必要不充分条件．
　　(5)求函数的导数就是利用求导法则（和、差、积、商的导数及复合函数的导数）转化为常见函数的导数．
　　(6)求复合函数的导数时，必须搞清复合层次，不能有漏掉的环节，要适当选取中间量，明确每一步是对哪个变量求导，用公式求导．

    1、导数的概念
　　(1)如果当${\displaystyle \Delta x\to 0}$时，${\displaystyle \Delta \frac{y}{\Delta }x}$有极限，就说函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$处可导（或变化率） ．记作${\displaystyle f\prime \left(x_0\right)}$或${\displaystyle y\prime {|}_x=x_0}$，即${\displaystyle f\prime \left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\Delta \frac{y}{\Delta }x=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta }x}$，${\displaystyle f\prime \left(x_0\right)}$的几何意义是曲线${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle (x_0,f\left(x_0\right))}$处的 切线的斜率；瞬时速度就是位移函数${\displaystyle s\left(t\right)}$对时间t的导数．
　　(2)如果函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在开区间${\displaystyle (a,b)}$内每一点都可导，其导数值在${\displaystyle (a,b)}$内构成一个新的函数，叫做${\displaystyle f\left(x\right)}$在开区间${\displaystyle (a,b)}$内的导函数，记作${\displaystyle f\prime \left(x\right)}$或${\displaystyle y\prime }$．
　　(3)如果函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$处可导，那么函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$处连续．
    2、几种常见函数的导数
    (1)${\displaystyle C\prime =}$0（其中C为常数）
    (2)${\displaystyle \left(x^n\right)\prime =n{x}^n-1(n\in \mathbb{Q})}$
    (3)${\displaystyle \left(sinx\right)\prime =cosx}$
    (4)${\displaystyle \left(cosx\right)\prime =-sinx}$
    (5)${\displaystyle \left(lnx\right)\prime =\frac{1}{x},\left({log}_{a}x\right)\prime =\frac{1}{x}{log}_{a}e}$
    (6)${\displaystyle \left(e^x\right)\prime =e^x,\left(a^x\right)\prime =a^{x}lna}$
    3、可导函数的四则运算的求导法则
    (1)${\displaystyle (u\pm v)\prime =u\prime \pm v\prime }$；
    (2)${\displaystyle \left(uv\right)\prime =u\prime v+uv\prime }$；
    (3)${\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)\prime =\frac{u\prime v+uv\prime }{v^2}(v\ne 0)}$
    (4)${\displaystyle y=f\left(\varphi \left(x\right)\right)}$的导数${\displaystyle \left(y_x\right)\prime =\left(y_u\right)\prime ·\left(u_x\right)\prime }$（其中${\displaystyle u=\varphi \left(x\right)}$）

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、 已知曲线${\displaystyle y=x+\frac{1}{x}}$上一点${\displaystyle A(2,\frac{5}{2})}$，用导数的定义求：
    (1)在点A处的切线的斜率；
    (2)在点A处的切线方程．
　

    1、已知曲线${\displaystyle C:y=x^3-3x^2+2x}$，直线${\displaystyle l:y=kx}$，且直线l与曲线C相切于点${\displaystyle (x_0,y_0)(x_0\ne 0)}$，求直线l的方程及切点坐标．

提示	示范
曲线在其上一点${\displaystyle P(x_0,y_0)}$处的切线就是其割线PQ的极限位置PT，函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在${\displaystyle x=x_0}$处的导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$就是曲线${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle P(x_0,y_0)}$处切线的斜率k．
解:${\displaystyle \because }$直线l过原点，则${\displaystyle k=\frac{y_0}{x_0}(x_0\ne 0)}$，由点${\displaystyle (x_0,y_0)}$在曲线C上，得${\displaystyle y=x_0^3-3x_0^2+2x_0,}$     ${\displaystyle \therefore \frac{y_0}{x_0}=x_0^2-3x_0+2}$     ${\displaystyle \because y＇=3x^2-6x+2,\therefore k=3x_0^2-3x_0+2}$     又${\displaystyle k=\frac{y_0}{x_0}}$     ${\displaystyle \therefore 3x_0^2-6x_0+2=\frac{y_0}{x_0}=x_0^2-3x_0+2}$，     整理，得${\displaystyle 2x_0^2-3x_0=0}$     ${\displaystyle \because x_0\ne 0,\therefore x_0=\frac{3}{2}}$，此时${\displaystyle y_0=-\frac{3}{8},k=-\frac{1}{4}}$     因此直线l的方程为${\displaystyle y=-\frac{1}{4}x}$，切点坐标为${\displaystyle (\frac{3}{2},-\frac{3}{8})}$．    评说:深刻理解曲线切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键，曲线在其上一点${\displaystyle P(x_0,y_0)}$处的切线就是其割线PQ的极限位置PT，函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在${\displaystyle x=x_0}$处的导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$就是曲线${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle P(x_0,y_0)}$处切线的斜率k，因此求曲线方程的步骤是：(1)求导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$；(2)求斜率${\displaystyle k=f＇\left(x_0\right)}$；(3)写出切线方程${\displaystyle y-y_0=f＇\left(x_0\right)(x-x_0)}$

    2、设${\displaystyle f\left(x\right)}$是定义在${\displaystyle ℝ}$上的函数，且对任何${\displaystyle x_1、x_2\in ℝ}$都有${\displaystyle f(x_1+x_2)=f\left(x_1\right)?f\left(x_2\right)}$,若${\displaystyle f\left(0\right)\ne 0,f＇\left(0\right)=1}$
    (1)求${\displaystyle f\left(0\right)}$的值；
    (2)证明对任何${\displaystyle x\in ℝ}$，都有${\displaystyle f\left(x\right)=f＇\left(x\right)}$．
　

提示	示范
用定义求解抽象函数的导数．
解:(1)解析：${\displaystyle \because f(x_1+x_2)=f\left(x_1\right)·f\left(x_2\right)}$ 对任何${\displaystyle x_1、x_2\in ℝ}$都成立，     ${\displaystyle \therefore }$令${\displaystyle x_1=x_2=0}$，得${\displaystyle f\left(0\right)=f^2\left(0\right)}$     ${\displaystyle }$.:f(0)!=0 :.f＇(0)=1${\displaystyle }$     (2)证明：${\displaystyle \because f＇\left(0\right)=1,\therefore \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(0+\Delta x)-f\left(0\right)}{\Delta x}=f＇\left(0\right)=1}$     ${\displaystyle \therefore f＇\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta }x=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x\right)·f(\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta x}}$     =${\displaystyle f\left(x\right)·\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(\Delta x)-1}{\Delta x}}$     = ${\displaystyle f\left(x\right)·\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(0+\Delta x)-f\left(0\right)}{\Delta x}=f\left(x\right)·f＇\left(0\right)=f\left(x\right)}$     :.${\displaystyle 对任何}$x in RR${\displaystyle ，都有}$f(x)= f＇(x)${\displaystyle ．}$    评说:在求抽象函数导数时，往往用定义求解 ．把已知给定的极限形式变形为导数定义式的结构形式是解决本题的关键．

    学习感悟
    1、求函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$处的导数通常有以下两种方法：
    (1)导数的定义，即求${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}}$的值．
    (2)利用导函数的函数值 ．即先求函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在开区间${\displaystyle (a,b)}$内的导函数${\displaystyle f＇\left(x\right)}$再将${\displaystyle x_0(x_0\in (a,b))}$代入导函数${\displaystyle f＇\left(x\right)}$，得函数值${\displaystyle f＇\left(x_0\right)}$．
    2、导数的存在性：当函数在${\displaystyle x=x_0}$处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数．
    3、要重视导数几何定义的应用．