二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
    (1)在确定函数的单调区间，求函数的极大(小)值时，都应首先考虑所给函数的定义域，函数的单调区间应是其定义域的子集．
    (2)当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．
　　(3)${\displaystyle f＇\left(x\right)>0[}$或是${\displaystyle f\left(x\right)}$在某一区间上为增函数(或减函数)的充分不必要条件．
　　(4)可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$在${\displaystyle x=0}$处导数${\displaystyle f＇\left(x\right)=0}$，但${\displaystyle x=0}$不是它的极值点，也就是可导函数在点${\displaystyle x_0}$处的导数${\displaystyle f＇\left(x_0\right)>0}$是该函数在${\displaystyle x_0}$处取得极值的必要不充分条件 ．特别地，函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点．
　　(5)函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个．
　　(6)极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但如果连续函数在开区间${\displaystyle (a,b)}$内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值．
　　(7)在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可．
　　(8)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点．
　

    1、函数的单调性
    设函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在某个区间内可导，若${\displaystyle f＇\left(x\right)>0}$，则${\displaystyle f\left(x\right)}$为增函数；若，则${\displaystyle f\left(x\right)}$为 减函数；
　　2、函数的极值
    (1)设函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在点${\displaystyle x_0}$附近有定义，如果对${\displaystyle x_0}$附近的所有的点，都有，则${\displaystyle f\left(x_0\right)}$是函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的一个极大值，记作${\displaystyle y_{极}大值=f\left(x_0\right)}$；
    如果对${\displaystyle x_0}$附近的所有的点，都有${\displaystyle f\left(x\right)>f\left(x_0\right)}$，则${\displaystyle f\left(x_0\right)}$是函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的一个极小值，记作${\displaystyle y_{极}小值=f\left(x_0\right)}$．极大值与极小值统称为极值．
    (2)当函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在${\displaystyle x_0}$处连续时，判别${\displaystyle f\left(x_0\right)}$是极大(小)值的方法：
    ①如果，有${\displaystyle f＇\left(x\right)>0,x>x_0}$,有则${\displaystyle f\left(x_0\right)}$是极大值；
    ②如果，有,有${\displaystyle f＇\left(x\right)>0,}$则${\displaystyle f\left(x_0\right)}$是极小值；
　　3、函数的最大值与最小值
    设函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，(1)先求${\displaystyle f\left(x\right)}$在(a,b)内的极值；(2)将${\displaystyle f\left(x\right)}$的各极值与${\displaystyle f\left(a\right)、f\left(b\right)}$比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值．
　

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、设函数${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3a{x}^2+3bx}$的图象与直线${\displaystyle 12x+y-1=0}$相切于点(1，-11)
　　(1) 求${\displaystyle a,b}$的值；
　　(2)讨论函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的单调性

    1、已知函数${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-ax-1}$
    (1)若${\displaystyle f\left(x\right)}$在实数集${\displaystyle ℝ}$上单调递增，求实数a的取值范围．
    (2)是否存在实数 a，使${\displaystyle f\left(x\right)}$在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
    (3)证明${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-ax-1}$的图象不可能总在直线${\displaystyle y=a}$的上方．

　

提示	示范
(提示内容)
解:(1)解析：由已知${\displaystyle f＇\left(x\right)=3x^2-a,}$     ${\displaystyle \because f\left(x\right)}$在${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$上是单调递增函数，     ${\displaystyle \therefore f＇\left(x\right)=3x^2-a\ge 0}$在${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$上恒成立，     即对${\displaystyle x\in ℝ}$ 恒成立．     ${\displaystyle \because 3x^2\ge 0，\therefore }$只需．     又${\displaystyle a=0}$时，${\displaystyle f＇\left(x\right)=3x^2\ge 0,f\left(x\right)=x^3-1}$在${\displaystyle ℝ}$上是增函数， 　　(2)解析：由在(-1，1)上恒成立，得${\displaystyle a\ge 3x^2,x\in (-1,1)}$恒成立．         ${\displaystyle }$:.3x^2<3,:.${\displaystyle 只需}$a>=3${\displaystyle }$     当${\displaystyle a=3}$时，${\displaystyle f＇\left(x\right)=3(x^2-1)}$，在${\displaystyle x\in (-1,1)}$上，，即${\displaystyle f\left(x\right)}$在（-1，1）上为减函数，     ${\displaystyle \therefore a\ge 3}$     故存在实数${\displaystyle a\ge 3}$，使${\displaystyle f\left(x\right)}$在（-1，1）上单调递减． 　　(3)证明：     ${\displaystyle }$:.f(x)${\displaystyle 的图象不可能总在直线}$y=a${\displaystyle 上方．}$    评说:求可导函数单调区间的一般步骤和方法：     (1)确定函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的定义区间；     (2)求${\displaystyle f＇\left(x\right)}$，令${\displaystyle f＇\left(x\right)=0}$，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；     (3)把函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的间断点[即${\displaystyle f\left(x\right)}$的无定义点]的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的定义区间分成若干个小区间；     (4)确定${\displaystyle f＇\left(x\right)}$在各小开区间内的符号，根据${\displaystyle f＇\left(x\right)}$的符号判定函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在各个相应小开区间内的增减性．

    2、已知${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx(a\ne 0)}$在${\displaystyle x\ne \pm 1}$时取得极值，且${\displaystyle f\left(1\right)=-1}$
    (1)试求常数a、b、c的值；
    (2)试判断${\displaystyle x=\pm 1}$是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
　

提示	示范
(提示内容)
解:(1)${\displaystyle f＇\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c}$     .:x=+-1${\displaystyle 是函数}$f(x)${\displaystyle 的极值点，且}$f(x)${\displaystyle 在定义域内任意一点处可导，}$:.x=+-1${\displaystyle 使方程}$f＇(x)=0${\displaystyle }$     即为${\displaystyle 3a{x}^2+2bx+c=0}$的两根．     由根与系数的关系得${\displaystyle \{\begin{array}{l}-2\frac{b}{3}a=0①\\ \text{c/3a=-1 ②}\end{array}}$     又${\displaystyle f\left(1\right)=-1,\therefore a+b+c=-1}$ ③     由①②③解得${\displaystyle a=\frac{1}{2},b=0,c=-\frac{3}{2}}$     (2)由(1)知${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x}$     ${\displaystyle \therefore f＇\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(x-1)(x+1)}$     当或${\displaystyle x>1}$时，${\displaystyle f＇\left(x\right)>0}$     当时，     ${\displaystyle }$:.${\displaystyle 函数}$f(x)${\displaystyle 在}$(-oo,-1)、(1,+oo)${\displaystyle 上是增函数，在(-1，1)上是减函数．}$     ${\displaystyle \therefore }$当${\displaystyle x=-1}$时，函数取得极大值${\displaystyle f(-1)=1}$；     当${\displaystyle x=1}$时，函数取得极小值${\displaystyle f\left(1\right)=-1}$    评说:求可导函数${\displaystyle f\left(x\right)}$极值的步骤：     (1)求导数${\displaystyle f＇\left(x\right)}$；     (2)求方程${\displaystyle f＇\left(x\right)=0}$的根；     (3)检验${\displaystyle f＇\left(x\right)}$在方程${\displaystyle f＇\left(x\right)=0}$的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$在这个根处取得极小值．

    学习感悟
    1、函数${\displaystyle f\left(x\right)}$在${\displaystyle [a,b]}$上一定有最大值和最小值，但在${\displaystyle (a,b)}$内不一定有最大值和最小值；极大(小)值不一定上最大(小)值，反之亦然 ．但如果连续函数在${\displaystyle (a,b)}$内只有一个极值，则一定是最值．
    2、若点${\displaystyle x_0}$是可导函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的极值点，则${\displaystyle f\prime \left(x_0\right)=0}$，但使${\displaystyle f\prime \left(x_0\right)=0}$的${\displaystyle x_0}$不一定是函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的极值点 ．如${\displaystyle y=x^3}$在${\displaystyle x=0}$处．在求极值点时，如果函数在定义域内有导数不存在的点，应注意考察其是否为极值点，不可忽视．