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（10分）设函数$f(x)=2\sin \omega x\cos \varphi +2\cos \omega x\sin \varphi (\omega > 0$，$\vert \varphi \vert < \dfrac{\pi }{2})$，已知$f(x)$的最小正周期为$\pi$，且$f(\dfrac{\pi }{4})=1$，$f(0) > 0$．
（Ⅰ）求$\omega$、$\varphi$的值；
（Ⅱ）求$f(x)$的单调递减区间．
〖答案〗（Ⅰ）$\omega =2$，$\varphi =\dfrac{\pi }{3}$；
（Ⅱ）$[\dfrac{\pi }{12}+k\pi ,\dfrac{7\pi }{12}+k\pi ]$，$k\in Z$．
〖分析〗（Ⅰ）利用两角和的正弦公式可得$f(x)=2\sin (\omega x+\varphi )$，利用周期公式可求$\omega$的值，由$f(0)=2\sin \varphi > 0$，可得$\sin \varphi > 0$，根据$f(\dfrac{\pi }{4})=2\sin (2\cdot \dfrac{\pi }{4}+\varphi )=1$，可得$\cos \varphi$的值，结合$\left| \varphi \right|\left\langle \dfrac{\pi }{2}sin\varphi \right\rangle 0$，即可得解$\varphi =\dfrac{\pi }{3}$；
（Ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．
〖解答〗解：（Ⅰ）$f(x)=2\sin \omega x\cos \varphi +2\cos \omega x\sin \varphi$
$=2(\sin \omega x\cos \varphi +\cos \omega x\sin \varphi )$
$=2\sin (\omega x+\varphi )$，
因为$f(x)$的最小正周期为$\pi$，且$\omega > 0$，
所以$\dfrac{2\pi }{\omega }=\pi \Rightarrow \omega =2$，
代入$x=0$，得$f(0)=2\sin \varphi > 0$，即$\sin \varphi > 0$，
再代入$x=\dfrac{\pi }{4}$，得$f(\dfrac{\pi }{4})=2\sin (2\cdot \dfrac{\pi }{4}+\varphi )=1$，可得$2\sin (\dfrac{\pi }{2}+\varphi )=1$，可得$2\cos \varphi =1\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{1}{2}$，
结合条件$\left| \varphi \right|\left\langle \dfrac{\pi }{2}sin\varphi \right\rangle 0$，
可得$\varphi =\dfrac{\pi }{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f(x)=2\sin (2x+\dfrac{\pi }{3})$，
令$\dfrac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\dfrac{\pi }{3}\le \dfrac{3\pi }{2}+2k\pi$，$k\in Z$，
解得$\dfrac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \dfrac{7\pi }{12}+k\pi$，$k\in Z$，
可得$f(x)$的单调递减区间为$[\dfrac{\pi }{12}+k\pi ,\dfrac{7\pi }{12}+k\pi ]$，$k\in Z$．
〖点评〗本题是三角函数常规综合题，核心考点是三角恒等变换、正弦型函数的周期性质、单调区间的求解，属于基础题．
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