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2026年高考数学北京-4<-->2025年高考数学北京-6
（4分）下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的是（ ）
A．$y=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ B．$y=2^{-x}-2^{x}$ C．$y=\sin x$ D．$y=\ln \dfrac{5+x}{5-x}$
〖答案〗$D$
〖分析〗先求出函数的定义域，然后根据奇函数的定义判断是否为奇函数，最后求导确定函数的单调性．
〖解答〗解：$A$，$f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^{2}+1}=\dfrac{1}{{x}^{2}+1}=f(x)$，是偶函数，不符合题意；
$B$，$f(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-f(x)$，是奇函数，但定义域内不单调，不符合题意；
$C$，$f(-x)=2^{x}-2^{-x}=-f(x)$，是奇函数，
$f\prime (x)=[2^{-x}\cdot \ln 2\cdot (-1)]-2^{x}\ln 2=-2^{x}\ln 2-2^{-x}\ln 2=-\ln 2(2^{x}+2^{-x}) < 0$恒成立，
所以$f(x)$定义域内单调递减，不符合题意；
$D$，$f(x)$有意义，所以$\dfrac{5+x}{5-x} > 0$，所以$x\in (-5,5)$，
$f(-x)=\ln \dfrac{5-x}{5+x}=-f(x)$，是奇函数，
设$f(u)=\ln u$，$u(x)=\dfrac{5+x}{5-x}$，所以$f(u)$是增函数，
因为$u\prime (x)=\dfrac{5-x+(x+5)}{(5-x)^{2}}=\dfrac{10}{(5-x)^{2}} > 0$恒成立，
所以$u(x)$是增函数，
所以$f(x)$是增函数，符合题意；
故选：$D$．
〖点评〗本题主要考查了利用导数判断函数的单调性以及奇函数的判定，属于中档题．
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