2020年高考数学上海20<-->返回列表
有限数列，若满足，是项数，则称满足性质。
（1）判断数列，，，和，，，，是否具有性质，请说明理由。
（2）若，公比为的等比数列，项数为，具有性质，求的取值范围。
（3）若是，，，的一个排列（），（，，，），，都具有性质，求所有满足条件的。
（1）对于数列，，，，
有，即成立，
所以数列，，，具有性质，
对于数列，，，，，
，，，，
因为，
所以数列，，，，不具有性质。
（2）由题意得（且），
所以，
两边平方得，
即，
化简得，
即①，
当时，，，
此时不等式①恒成立，
令得，，解得或（舍去），
当时，，
令得，，
当时，
若为偶数，则，
所以不等式①不成立，
若为奇数，则，
所以不等式①成立，
所以舍去，
若为偶数，，
若为奇数，，
综上所述，的取值范围是。
（3）设，，
因为，可以取或者，可以取或者，
若或取或，则不满足性质，
所以的前五项的组合为：
①，，，，，
②，，，，，
③，，，，，
④，，，，，
对于①，，，，
与满足性质矛盾，舍去，
对于②，，，，，
对于③，，，，，
对于④，，，，
所以均不能使，都具有性质，
当时，有数列：，，，，，，满足题意，
当时，有数列：，，，，，，，，满足题意，
所以满足题意的数列只有以上四种。
本题主要考查数列综合、不等关系与不等式、二次函数以及函数综合。
（1）根据性质的定义，分别验证两个数列是否满足即可。
（2）假设公比为的等比数列满足性质，既满足（且），即恒成立，因为，则分，，，四种情况讨论，即可求解。
（3）令，分，，，以及五种情况讨论，进而判断出数列的前五项的取值的可能的情况，分别就每种情况推导出数列，判断其是否满足性质即可。
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