2020年高考数学上海19<-->2020年高考数学上海21
双曲线：，圆：（）在第一象限交点为，，曲线：。
（1）若，求。
（2）若，与轴交点记为、，是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求。
（3）过点且斜率为的直线交曲线于，两点，用的代数式表示，并求出的取值范围。
（1）因为点是双曲线和圆的交点，且，
所以，
由①可得，
将其代入到②中，得到，
所以，解得（舍去负值），
所以。
（2）当时，双曲线的方程为，曲线的方程为，
所以，，
所以、分别为双曲线的左右焦点，
若点在曲线上的圆的部分上，则，不符合题意，舍去。
所以点在曲线上的双曲线部分，
所以根据双曲线的性质可得，
所以在中，由余弦定理可得：
。
（3）设圆的半径为，则。
由题意设直线的方程为，
注意到直线与双曲线的一条渐近线平行，且不经过原点，
所以直线与双曲线只有一个交点，
因为原点到直线的距离为，
即原点到直线的距离等于圆的半径，
所以直线与圆相切。
记直线与圆的切点为点，连接，，如下图所示。
因为直线与圆相切，切点为点，
所以直线的方程为，
联立得到，
结合图象可知，若要使得直线与曲线有两个交点，
则直线与圆的切点在点的右下方，
若点在点的右下方，
则，即，
所以（舍去）或，
即。
因为，
所以
，
本题主要考查圆锥曲线、平面向量的数量积以及正余弦定理的应用。
（1）因为点是双曲线和圆的交点，所以将代入双曲线和圆的方程，即可求出。
（2）首先根据椭圆的性质证明点在曲线上的双曲线部分，然后根据双曲线的性质得到，在中，运用余弦定理即可求出。
（3）首先根据题意得出直线与双曲线的一条渐近线平行，且直线与圆相切，并据此求出切点。然后结合图象得到点在点的右下方，据此求出。因为，所以可求出，结合即可求出的取值范围。
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