2019年高考数学江苏17<-->2019年高考数学江苏19
（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径），规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、。规划要求：线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径。已知点，到直线的距离分别为和（、为垂足），测得，，（单位：百米）。
（1）若道路与桥垂直，求道路的长；
（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米），求当最小时，、两点间的距离。
（1）由题意可作图，
设与圆交于点，则。
又由题意有，，
则。
则四边形为矩形，
因为，
所以。
所以，
又因为在中，
，
所以，。
又因为，
（2）①当在处时，如图。
与圆相交，不符合要求。
②当在处时，如图。
因为四边形为矩形，
所以，，
在中，由余弦定理有：
其中，，。
则，
则与圆相交，不符合要求。
综上可知和均不能有一个点选在处。
（3）当最短时，与圆相切，则。
由（1）求得此时。
当最短时，在点，
。
所以的最小值为。
此时，，如图。
此时，的位置有两种情况，
当在点的左侧时记为，
与圆相交，不符合。
所以在点的右侧，记为。
在中，
故，两点间距离为百米。
本题主要考查圆与方程和正、余弦定理的应用。
（1）设与圆交于点，根据题目要求可画出对应的图象，结合题中数据可得，进而得，由可得，在中计算即可。
（2）欲满足规划要求，则、均不与圆相交，当在处时，显然不符合要求；当在处时，连接，在中，利用余弦定理可得，即与圆相交，不符合要求；综上可得和不能有一个点选在处。
（3）由（1）知，当最短时，；当最短时，在点，。因为要满足，所以最小值为。结合图象可知，的位置有两种情况，其中只有在点的右侧时满足题意，记为。利用勾股定理计算即可得。即，两点间距离为百米。
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