2018年高考数学新课标2--理20<-->2018年高考数学新课标2--理22
已知函数。
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求。
（1）当时，，
，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以。
（2）等价于，记，
，
当时，，无零点，不符合题意，
当时，，有一个零点，符合题意，
当时，，
取，有，
下面先证明（），取（），
，所以在上单调递增，
取，则有，
所以，，
所以在和上各有一个零点，不符合题意。
综上，。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）直接求导利用单调性证明不等式。
（2）分离参数后求导根据函数最值来讨论函数的零点个数。
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