2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第21题
（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
（1）在上恒成立，则， 。
故：。
，
若，则 在上恒成立，
此时，在上是单调增函数，无最小值，不合题意；
若，则在 上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足。
故的取值范围为：＞ 。
（2）在上恒成立，则，故：。
。
（i）若，令得增区间为 ；
令得减区间为 ，
当时，；当时，；
当时，，当且仅当时取等号。
故：当时，有1个零点；当时，有2个零点。
（ii）若，则，易得有个零点。
（iii）若，则在上恒成立，
即：在上是单调增函数，
当时，；当时，。
此时，有1个零点。
综上所述：当或时，有1个零点；当时，有2个零点。
本题主要考查利用导数研究函数的性质以及函数、方程、不等式的相互转化。
（1）研究函数的单调性和最值最常用的手段就是求导，通过求导结合所给的单调性、最值的条件列出关于的不等式，求得的范围。
（2）类似上题的方法可求得此时。，可知当时，，单调，且，此时有一个零点。当时，先增后减，且，的最大值决定了有几个零点，通过求出的最大值，讨论其正负即可。
本题也可以采用数形结合的方法，零点的个数即直线与的交点的个数，
从图中易得出结论：求出相切时，此时有一个交点；当时，有两个交点；当时，有一个交点。
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