2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第20题
（本小题满分16分）
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：。
（1）若，则，，。
当成等比数列，，
即：，得：，又，故。
由此：，，。
故：（）。
（2）
若是等差数列，则型。
观察式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而 ，故。
经检验，当时是等差数列。
第二问先证明是成等差数列的必要条件，再验证时是等差数列是一种很常用的思路，直接证充要条件反而很难证。
本题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等。
（1）先求出的表达式，通过，，成等比数列列出方程，可求得与的关系，代入表达式即可证明结论。
（2）将的表达式代入，若是等差数列，的通项公式应是的线性表达式，故表达式中的非一次项系数均为0，整理表达式可得，再验证时是等差数列即可。
本题也可采用特殊值，选用前四项，，，列方程，求得，再验证时是等差数列即可。
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