2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第19题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数的最小值为0，其中。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明：（）。
（Ⅰ）的定义域为。。由，得。
当变化时，，的变化情况如下表：
因此，在处取得最小值，故由题意，所以。
（Ⅱ）当时，取有，故不合题意。
当时，令，即。
，令，得，。
（1）当时，，在上恒成立，
因此在上单调递减，从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意。
（2）当时，，对于，，故在内单调递增，
因此当取时，，即不成立。故不合题意。
综上的最小值为。
（Ⅲ）当时，不等式左边右边，所以不等式成立；
当时，
在（Ⅱ）中，取，得（），从而（，）
所以有
综上，，（）。
本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等。
（Ⅰ）分析导函数性质可得在处取得最小值，由此可解出；
（Ⅱ）即求在恒成立时的最小值，需要分析导函数的性质，首先按与零的关系分为三种情况，然后时，由极值点的表达式可知还需按照与的大小关系分析最大值的情况；
（Ⅲ）当时，不等式成立；当时，，利用上一问结论，令，可得，代入上式，放缩后即得所求不等式。
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