2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第18题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第20题
（本小题满分14分）
设椭圆，的左、右顶点分别为，，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点。
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明直线的斜率满足。
（Ⅰ）设点的坐标，有题意，有
由，，得，。
由，可得，代入①并整理得。
由于，故。
于是，所以椭圆的离心率。
（Ⅱ）依题意，直线的方程为，设点的坐标为。
由条件得，
消去并整理得
由，及得，整理得。
而，于是，代入②，
整理得，
由，故，即，因此。
所以。
本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等。
（Ⅰ）设出点坐标，利用斜率关系列出等式，可得与的数量关系，从而可得出离心率。
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立可解出点坐标，由两点距离公式可得，，又由可得关于，，的等式，代入可得的取值范围。
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