空间几何体的直观图

空间几何体的直观图
①画水平放置平面图形的直观图步骤：
1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面。
2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。
3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
②画几何体的直观图的步骤（即斜二测画法）：
1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°。
    2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面。
    3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。
    4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。
③斜二测画法的作图技巧：
1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等。
2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连接，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线。原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出。
    3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图。

实例：

用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

解：画法：（1）如图（1），在正六边形中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN直线为y轴，两轴相交于点O.在图（2）中，画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使.
（2）在图（2）中，以为中点，在轴上取，在轴上取.以点为中点，画平行于轴，并且等于BC，以为中点，画平行于轴，并且等于EF.
（3）连结，,,,，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图，如图（3）.
总结：
上述画直观图的方法称之为斜二测画法，它的步骤是：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的和轴，两轴交于点，且使，它们确定的平面表示水平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别现成平行于或轴的线段。
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长底不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。