14.3.5利用向量求空间角

14.3.4用向量方法判定空间中的垂直关系<-->14.3.6利用向量方法求空间距

14.3.5利用向量求空间角
(1)求异面直线所成的角
已知

$a,b$ 为两异面直线

$A,C$ 与

$B,D$ 分别是

$a,b$ 上的任意两点,

$a,b$ 所成的角为

$\theta$ ,则

$\cos \theta =\dfrac{|\vec{AC}\cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}|\cdot |\vec{BD}|}$

注意!
两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.
(2)求直线和平面所成的角

设直线

$l$ 的方向向量为

$\vec{a}$ ，平面

$α$ 的法向量为

$\vec{u}$ ,直线与平面所成的角为

$\theta$ ,

$\vec{a}$ 与

$\vec{u}$ 的夹角为

$\varphi$ ,则有

$\sin \theta =|\cos \varphi|=\dfrac{|\vec{a}\cdot \vec{u}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{u}|}$
此外可由定义得到直线与平面所成的角

$\theta$ ,如图

$\theta =\angle POA = <\vec{OP},\vec{OA} >$

(3)求二面角

如图,若

$PA \bot α$ 于

$A$ ,

$PB \bot B$ 于

$B$ ,平面

$PAB$ 交

$l$ 于

$E$ ,则

$\angle AEB为$ 二面角

$\alpha-l-\beta$ 的平面角，

$\angle AEB+\angle APB=180°$ .
若

$\vec{n_1}·\vec{n_2}$ 分别为面

$α,\beta$ 的法向量,

$\angle AEB= <\vec{n_1},\vec{n_2}>$ 或

$(π-<\vec{n_1},\vec{n_2}>)$ ,即二面角

$\theta$ 等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)，
于是

$\cos θ=\dfrac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_1}}{|\vec{n_1}|\cdot |\vec{n_2}|}$
①当法向量

$\vec{n_1}$ 与

$\vec{n_2}$ 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角

$\theta$ 的大小等于法向量

$\vec{n_1}，\vec{n_2}$
的夹角

$< \vec{n_1},\vec{n_2} >$ 的大小.
2当法向量

$\vec{n_1}$ ,

$\vec{n_2}$ 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角

$\theta$ 的大小等于法向量

$\vec{n_1}$ ,

$\vec{n_2}$ 的夹角的补角

$π-<\vec{n_1},\vec{n_2}>$ 的大小.

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