1.2.4 集合与集合的关系

$A\subseteq B$和$A\nsubseteqq B$.

①真子集必是子集，子集不一定是真子集.即$A\subsetneqq B\Rightarrow A\subseteq B$.

②任何一个集合是它本身的子集，即$A\subseteq A$.

③空集是任何集合的子集，即$\varnothing \subseteq A$.空集是任何非空集合的真子集，即$\varnothing \subsetneqq A\ne \varnothing$.

④对于集合$A,B,C$,若$A\subseteq B$，$B\subseteq C$,则$A\subseteq C$.

对于集合$A,B,C$,若$A\subsetneqq B$，$B\subsetneqq C$,则$A\subsetneqq C$.

⑤要特别注意$a$与$\left\{ a \right\}$，数$0$、$\left\{ 0 \right\}$与$\varnothing$，$\left\{ \left( a,b \right) \right\}$与$\left\{ a,b \right\}$，$\varnothing$与$\left\{ \varnothing  \right\}$等的区别.

 

例1  以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来.

①$0$与$\left\{ 0 \right\}$；②数$0$与$\varnothing$；③$\varnothing$与$\left\{ 0 \right\}$；④$\left\{ 0,1 \right\}$与$\left\{ \left( 0,1 \right) \right\}$；⑤$\left\{ \left( b,a \right) \right\}$与$\left\{ \left( a,b \right) \right\}$.

分析 首先要分清是“元素与集合”的关系还是“集合与集合”的关系，如果是“集合与集合”，还要分清是什么关系.

解：对于①，$\left\{ 0 \right\}$是含有单元素0的集合，0与$\left\{ 0 \right\}$的关系是“属于与否”的关系，即$0\in \left\{ 0 \right\}$.

对于②，集合$\varnothing$不含任何元素，所以$0\notin \varnothing$.

对于③，$\varnothing$与$\left\{ 0 \right\}$都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系.因为空集是任何非空集合的真子集，所以$\varnothing \subsetneqq \left\{ 0 \right\}$.

对于④，$\left\{ 0,1 \right\}$是含两个元素0与1的集合，$\left\{ \left( 0,1 \right) \right\}$是以“有序数组”为元素的单元素$\left( 0,1 \right)$的集合，所以$\left\{ 0,1 \right\}$与$\left( 0,1 \right)$不相等，即$\left\{ 0,1 \right\}\nsubseteq \left\{ \left( 0,1 \right) \right\}$，且$\left\{ \left( 0,1 \right) \right\}\nsubseteq \left\{ 0,1 \right\}$.

对于⑤，当且仅当$a=b$时，$\left\{ \left( a,b \right) \right\}=\left\{ \left( b,a \right) \right\}$.

 

例2 已知集合$A=\left\{ x|-{{x}^{2}}+3x+10\geqslant 0 \right\}$，$B=\left\{ x|m+1\leqslant x\leqslant 2m-1 \right\}$，若$B\subseteq A$，求m的取值范围.

解：由$-{{x}^{2}}+3x+10\geqslant 0$，得$-2\leqslant x\leqslant 5$.

∴$A=\left\{ x|-2\leqslant x\leqslant 5 \right\}$.

（1）若$B\ne \varnothing$，则$m+1\leqslant 2m-1$，即$m\geqslant 2$.

由已知，得

$B\subseteq A\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\geqslant 2 \\ & m+1\geqslant -2 \\ & 2m-1\leqslant 5 \\ \end{align} \right.$

∴$2\leqslant m\leqslant 3$.

（2）若$B=\varnothing$，则$m+1>2m-1$，即$m<2$.此时，仍有$B\subseteq A$.

由（1）（2）得$m\leqslant 3$.

[总结提示]空集是一个特殊的集合，考生往往在解题中遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面.本题应分$B=\varnothing$和$B\ne \varnothing$两种情况分类讨论，解题时很容易忽视B为空集的情况.