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高考数学必做百题第100题（理科2017版）

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100. 设 $a+b+c=1$ 均为正数,且 $ab+bc+ca\le \dfrac{1}{3}$ ,证明:

（1）

$\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\ge 1$

（2）

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$

证明：（1）∵

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ ,

${{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc$ ,

${{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2ac$ ,

∴

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca$ .

∵

${{\left( a+b+c \right)}^{2}}=1$ ,

即

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca=1$ ,

∴

$3\left( ab+bc+ca \right)\le 1$ ,即

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le \dfrac{1}{3}$ .

（2） ∵

$\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+b\ge 2a$ ,

$\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+c\ge 2b$ ,

$\dfrac{{{c}^{2}}}{a}+a\ge 2c$ ,

∴

$\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}+\left( a+b+c \right)\ge 2\left( a+b+c \right)$ ,

∴

$\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\ge a+b+c=1$ .

另证：(Ⅰ)由柯西不等式

$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge {{\left( a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1 \right)}^{2}}$ ，

即

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{1}{3}$ ，

又

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+b+c \right)}^{2}}-2\left( ab+bc+ca \right)$ ，

∴

$1-2\left( ab+bc+ca \right)\ge \dfrac{1}{3}$ ，即

$ab+bc+ca\le \dfrac{1}{3}$ 。

(Ⅱ)由柯西不等式

$\begin{align} & \left( a+b+c \right)\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a} \right) \\ & \ge {{\left( \sqrt{a}\cdot \dfrac{c}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \dfrac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}\cdot \dfrac{b}{\sqrt{c}} \right)}^{2}} \\ \end{align}$

$={{\left( a+b+c \right)}^{2}}=1$

∴

$\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\ge 1$

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