高考数学必做百题第99题（理科2017版）

（1）解不等式$f(x)>2$；

（2）求函数$y=f(x)$的最小值．

解：（1）令$y=\left| 2x+1 \right|-\left| x-4 \right|$，则$y=\left\{ \begin{align}  & -x-5   ,&   x\le -\dfrac{1}{2} \\ & 3x-3,& -\dfrac{1}{2}<x<4 \\ & x+5    ,&       x\ge 4 \\ \end{align} \right.$，

作出函数$y=\left| 2x+1 \right|-\left| x-4 \right|$的图象，如图，它与直线$y=2$的交点为$(-7,2)$和$\left( \dfrac{5}{3},2 \right)$．

∴$\left| 2x+1 \right|-\left| x-4 \right|>2$的解集为$(-\infty ,-7)\bigcup \left( \dfrac{5}{3},+\infty  \right)$．

（2）由函数$y=\left| 2x+1 \right|-\left| x-4 \right|$的图像可知，

当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$y=f(x)$取得最小值$-\dfrac{9}{2}$．