高考数学必做百题第97题（理科2017版）

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097.（1）如图，$\Delta ABC$是圆的内接三角形，$\angle BAC$的平分线交圆于点$D$，交$BC$于点$E$，过点$B$的圆的切线与$AD$的延长线交于点$F$.在上述条件下，给出下列四个结论：

①$BD$平分$\angle CBF$；

②$F{{B}^{2}}=FD\cdot FA$；

③$AE\cdot CE=BE\cdot DE$；

④$AF\cdot BD=AB\cdot BF$。

则所有正确结论的序号是（  ）

A.①②    B.③④    C.①②③    D.①②④

（2）如图，在$\Delta ABC$中，$AB=AC$，$\Delta ABC$的外接圆圆$O$的弦$AE$交$BC$于点$D$。

求证：$\Delta ABD\sim \Delta AEB$。

解：（1）

由弦切角定理得$\angle FBD=\angle EAC=\angle BAE$，

又∵$\angle BFD=\angle AFB$，

∴$\Delta BFD$∽$\Delta AFB$，

∴$\dfrac{BF}{AF}=\dfrac{BD}{AB}$，

即$AF\cdot BD=AB\cdot BF$。

∴排除A、C。

又∵$\angle FBD=\angle EAC=\angle DBC$，

∴排除B。 故选D。

考点：角平分线，圆及切线性质，相似三角形。

（2）证明：

∵$AB=AC$， 

∴$\angle ABD=\angle C$。

又∵$\angle C\text{=}\angle E$，

∴$\angle ABD=\angle E$。

又$\angle BAE=\angle DAB$，（公共角）

∴$\Delta ABD\sim \Delta AEB$。

考点：圆的角、弧性质，相似三角形。

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