高考数学必做百题第96题（理科2017版）

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096.（1）（2016天津理12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，

BD=ED，则线段CE的长为_______。

（2）（2016江苏21.A）如图，在△ABC中，

∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD。

（1）解：设$CE=x$，

则由相交弦定理得$DE\cdot CE=AE\cdot BE$，

∴$DE=\dfrac{2}{x}$，又$BD=DE=\dfrac{2}{x}$，

∴$AC=AE=1$，

∵$AB$是直径，则$BC=\sqrt{{{3}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{2}$，

$AD=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\sqrt{9-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}$。

在圆中。$(4{{k}^{2}}+3){{x}^{2}}-16{{k}^{2}}x+16{{k}^{2}}-12=0$，则$\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$，

即$\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{9-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}}=\dfrac{x}{1}$，解得$x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。

∴线段$CE$的长为$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。

考点：圆的相交弦定理，相似三角形判定与性质。

（2）证明：在$\Delta ADB$和$\Delta ABC$中，

∵$\angle ABC={{90}^{{}^\circ }},BD\bot AC,\angle A$为公共角，

∴$\Delta ABD\backsim \Delta ABC$，于是$\angle ABD=\angle C$.

在$Rt\Delta BDC$中，∵$E$是$BC$的中点，

∴$ED=EC$，从而$\angle EDC=\angle C$.

∴$\angle EDC=\angle ABD$。

考点：直角三角形性质，相似三角形，

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