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高考数学必做百题第87题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第89题（理科2017版）
088.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)。设该蓄水池的底面半径为$r$米,高为$h$米,体积为$V$立方米。假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000$\pi $元($\pi $为圆周率)。
（1）将$V$表示成$r$的函数$V(r)$,并求该函数的定义域；
（2）讨论函数$V(r)$的单调性,并确定$r$和$h$为何值时该蓄水池的体积最大。
解：（1）∵侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000$\pi $元，
∴$200\pi rh+160\pi {{r}^{2}}=12000\pi $，
即$5rh+4{{r}^{2}}=300$，$h=\dfrac{300-4{{r}^{2}}}{5r}$
∴$V\left( r \right)=\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{\pi }{5}\left( 300r-4{{r}^{3}} \right)$，
∵$r>0,h>0$,得$0<r<5\sqrt{3}$，
∴函数$V\left( r \right)$定义域为$\left( 0,5\sqrt{3} \right)$。
（2）∵$V'\left( r \right)=\dfrac{\pi }{5}\left( 300-12{{r}^{2}} \right)=-\dfrac{12}{5}\left( r+5 \right)\left( r-5 \right)$，
又$r\in \left( 0,5\sqrt{3} \right)$，∴令$V'\left( r \right)=0$得$r=5$；
令$V'\left( r \right)>0$得$0<r<5$；令$V'\left( r \right)<0$得$r>5$，
∴函数$V\left( r \right)$在$\left( 0,5 \right)$上递增，在$\left( 5,5\sqrt{3} \right)$上递减，
∴当$r=5$时，$V\left( r \right)$有极大值，定义域内唯一的极大值就是最大值，这时$h=8$。
∴当$r=5$，$h=8$时，该蓄水池的体积最大。
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