高考数学必做百题第88题（理科2017版）

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088.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)。设该蓄水池的底面半径为 $r$ 米,高为 $h$ 米,体积为 $V$ 立方米。假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000 $\pi$ 元( $\pi$ 为圆周率)。

（1）将

$V$ 表示成

$r$ 的函数

$V(r)$ ,并求该函数的定义域；

（2）讨论函数

$V(r)$ 的单调性,并确定

$r$ 和

$h$ 为何值时该蓄水池的体积最大。

解：（1）∵侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000

$\pi$ 元，

∴

$200\pi rh+160\pi {{r}^{2}}=12000\pi$ ，

即

$5rh+4{{r}^{2}}=300$ ，

$h=\dfrac{300-4{{r}^{2}}}{5r}$

∴

$V\left( r \right)=\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{\pi }{5}\left( 300r-4{{r}^{3}} \right)$ ，

∵

$r>0,h>0$ ,得

$0<r<5\sqrt{3}$ ，

∴函数

$V\left( r \right)$ 定义域为

$\left( 0,5\sqrt{3} \right)$ 。

（2）∵

$V'\left( r \right)=\dfrac{\pi }{5}\left( 300-12{{r}^{2}} \right)=-\dfrac{12}{5}\left( r+5 \right)\left( r-5 \right)$ ，

又

$r\in \left( 0,5\sqrt{3} \right)$ ，∴令

$V'\left( r \right)=0$ 得

$r=5$ ；

令

$V'\left( r \right)>0$ 得

$0<r<5$ ；令

$V'\left( r \right)<0$ 得

$r>5$ ，

∴函数

$V\left( r \right)$ 在

$\left( 0,5 \right)$ 上递增，在

$\left( 5,5\sqrt{3} \right)$ 上递减，

∴当

$r=5$ 时，

$V\left( r \right)$ 有极大值，定义域内唯一的极大值就是最大值，这时

$h=8$ 。

∴当

$r=5$ ，

$h=8$ 时，该蓄水池的体积最大。

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