高考数学必做百题第87题（理科2017版）

（1）求$f\left( x \right)$的极小值和极大值；

（2）当曲线$y=f\left( x \right)$的切线$l$的斜率为负数时，求$l$在$x$轴上截距的取值范围。

解：（1）$f\left( x \right)$∵的定义域R，且

$f'\left( x \right)=-\dfrac{x\left( x-2 \right)}{{{e}^{x}}}$，

令$f'\left( x \right)=0$，得$x=0$或$x=2$。

当$x$变化时，$f'\left( x \right)$与$f\left( x \right)$的变化情况如下表：

 由上表知，$f\left( x \right)$的极小值为$f\left( 0 \right)=0$；$f\left( x \right)$的极大值为$f\left( 2 \right)=4{{e}^{-2}}$。

（2）设切点为$\left( t,f\left( t \right) \right)$，则$l$的方程为

$y=f'\left( t \right)\left( x-t \right)+f\left( t \right)$，

∴$l$在$x$轴上的截距为

$m\left( t \right)=t-\dfrac{f\left( t \right)}{f'\left( t \right)}=t-\dfrac{t}{t-2}$

$=\left( t-2 \right)+\dfrac{2}{t-2}+3$。

∵曲线$y=f\left( x \right)$的切线$l$的斜率为负数，

∴$f'\left( t \right)=-\dfrac{t\left( t-2 \right)}{{{e}^{t}}}<0$，得$t\in \left( -\infty ,0 \right)\bigcup \left( 2,+\infty  \right)$。

①当$t\in \left( 2,+\infty  \right)$时，$t-2>0$，则

$m\left( t \right)=\left( t-2 \right)+\dfrac{2}{t-2}+3\ge 2\sqrt{2}+3$，即

$m\left( t \right)\in \left( 2\sqrt{2}+3,+\infty  \right)$。

②当$t\in \left( -\infty ,0 \right)$时，$m'\left( t \right)=1-\dfrac{2}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}>0$，

∴$m\left( t \right)$在$\left( -\infty ,0 \right)$上递增，则$m\left( t \right)\in \left( -\infty ,0 \right)$。

综上所述，直线$l$在$x$轴上截距的取值范围是

$\left( -\infty ,0 \right)\bigcup \left( 2\sqrt{2}+3,+\infty  \right)$。