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高考数学必做百题第84题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第86题（理科2017版）
085.（1）已知$a,b$是实数，$f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$。设函数$g(x)$的导函数${{g}^{'}}(x)=f\left( x \right)+2$，则函数$g(x)$的极值点是_________。
（2）若存在过点$O(0,0)$的直线$l$与曲线
$f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x$和$y={{x}^{2}}+a$都相切，则$a$的值是( )。
A．1 B. $\dfrac{1}{64}$
C．1或$\dfrac{1}{64}$ D．1或$-\dfrac{1}{64}$
解：（1） ∵$f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$，
∴${{g}^{'}}\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{{}}}+2$。
由${{g}^{'}}\left( x \right)=0$，得${{(x-1)}^{2}}(x+2)=0$，
∴${{g}^{'}}\left( x \right)=0$的根为$x=-2$或$x=1$。
当$x<-2$时，${{g}^{'}}\left( x \right)<0$；当$-2<x<1$时，${{g}^{'}}\left( x \right)>0$，
∴$x=-2$是函数$g(x)$的极小值点。
当$-2<x<1$或$-2<x<1$时，${{g}^{'}}\left( x \right)>0$，
∴$x=1$不是$g(x)$的极值点。
∴$g(x)$的极小值点是$x=-2$。
考点：导数及其应用。
（2）∵点O(0,0)在曲线上，
①当$O(0,0)$是切点时，则直线$l$与曲线$y=f\left( x \right)$相切于点$O$。
∵${{f}^{'}}(x)=3{{x}^{2}}-6x+2$，
∴$k={{f}^{'}}(0)=2$，直线$l$的方程为$y=2x$。
又∵直线$l$与曲线$y={{x}^{2}}+a$相切，
∴${{x}^{2}}+a=2x$，即${{x}^{2}}-2x+a=0$满足
$\Delta =4-4a=0$，∴a＝1。
②当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0 ，y0 )，则${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}$，且
$k={{f}^{'}}({{x}_{0}})=3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+2$， ①
又$k=\dfrac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}=x_{0}^{2}-3{{x}_{0}}+2$， ②
联立解得${{x}_{0}}=\dfrac{3}{2}({{x}_{0}}=0)$，∴$k=-\dfrac{1}{4}$。
∴所求切线$l$的方程为$y=-\dfrac{1}{4}x$。
由$\left\{ \begin{align} & y=-\dfrac{1}{4}x \\ & y={{x}^{2}}+a \\ \end{align} \right.$得${{x}^{2}}+\dfrac{1}{4}x+a=0$
∵直线与抛物线$y={{x}^{2}}+a$相切，
∴Δ＝$\dfrac{1}{16}$－4a＝0，∴a＝$\dfrac{1}{64}$。
综上，a＝1或a＝$\dfrac{1}{64}$。故选$C$。
考点：导数的几何意义，曲线的切线方程。
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