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高考数学必做百题第84题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第86题（理科2017版）
085.（1）已知a,b是实数，f(x)=x3−3x。设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2，则函数g(x)的极值点是_________。
（2）若存在过点O(0,0)的直线l与曲线
f(x)=x3−3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是( )。
A．1 B. 164
C．1或164 D．1或−164
解：（1） ∵f(x)=x3−3x，
∴g′(x)=x3−3x+2。
由g′(x)=0，得(x−1)2(x+2)=0，
∴g′(x)=0的根为x=−2或x=1。
当x<−2时，g′(x)<0；当−2<x<1时，g′(x)>0，
∴x=−2是函数g(x)的极小值点。
当−2<x<1或−2<x<1时，g′(x)>0，
∴x=1不是g(x)的极值点。
∴g(x)的极小值点是x=−2。
考点：导数及其应用。
（2）∵点O(0,0)在曲线上，
①当O(0,0)是切点时，则直线l与曲线y=f(x)相切于点O。
∵f′(x)=3x2−6x+2，
∴k=f′(0)=2，直线l的方程为y=2x。
又∵直线l与曲线y=x2+a相切，
∴x2+a=2x，即x2−2x+a=0满足
Δ=4−4a=0，∴a＝1。
②当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0 ，y0 )，则y0=x30−3x20+2x0，且
k=f′(x0)=3x20−6x0+2， ①
又k=y0x0=x20−3x0+2， ②
联立解得x0=32(x0=0)，∴k=−14。
∴所求切线l的方程为y=−14x。
由{y=−14xy=x2+a得x2+14x+a=0
∵直线与抛物线y=x2+a相切，
∴Δ＝116－4a＝0，∴a＝164。
综上，a＝1或a＝164。故选C。
考点：导数的几何意义，曲线的切线方程。
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