高考数学必做百题第52题（理科2017版）

（2）一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

①取出1球是红球或黑球的概率；

②取出1球是红球或黑球或白球的概率。

解：（1）从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为$A,B$，$C,D$，则事件$A,B,C,D$彼此互斥，

∴$P\left( B+C \right)=P\left( B \right)+P\left( C \right)=\dfrac{5}{12}$，

$P\left( D+C \right)=P\left( D \right)+P\left( C \right)=\dfrac{5}{12}$，

$\begin{align}  & P\left( B+C+D \right)=P\left( B \right)+P\left( C \right)+P\left( D \right) \\ & \ \ =1-P\left( A \right)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \\ \end{align}$,

解得$P\left( B \right)=\dfrac{1}{4}$，$P\left( C \right)=\dfrac{1}{6}$，$P\left( D \right)=\dfrac{1}{4}$。

∴从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是$\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{6},\ \dfrac{1}{4}$。

（2）解法1：(利用互斥事件求概率)

记事件${{A}_{1}}$＝{任取1球为红球}，

${{A}_{2}}$＝{任取1球为黑球}，${{A}_{3}}$＝{任取1球为白球}，

${{A}_{4}}$＝{任取1球为绿球}，

则$P\left( {{A}_{1}} \right)=\dfrac{5}{12}$，$P\left( {{A}_{2}} \right)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$，

$P\left( {{A}_{3}} \right)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$，$P\left( {{A}_{4}} \right)=\dfrac{1}{12}$。

∵事件${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}}$彼此互斥，由互斥事件的概率公式得：

①取出1球为红球或黑球的概率为

$P\left( {{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)=\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}$；

②取出1球为红球或黑球或白球的概率为

$P\left( {{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}\bigcup {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+P\left( {{A}_{3}} \right)$

$=\dfrac{5}{12}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{12}$。

解法2：(利用对立事件求概率)

①由解法1知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即${{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}$的对立事件为${{A}_{3}}\bigcup {{A}_{4}}$，

∴取出1球为红球或黑球的概率为

$P\left( {{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}} \right)=1-P\left( {{A}_{3}}\bigcup {{A}_{4}} \right)$

$=1-P\left( {{A}_{3}} \right)-P\left( {{A}_{4}} \right)=1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{4}$。

②∵${{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}\bigcup {{A}_{3}}$的对立事件为${{A}_{4}}$，

∴$P\left( {{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}\bigcup {{A}_{3}} \right)=1-P\left( {{A}_{4}} \right)=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}$。