高考数学必做百题第08题（理科2017版）

（1）求$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GO}$；

（2）若$PQ$过$\Delta ABO$的重心$G$，且$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}=n\overrightarrow{b}$，求证：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$。

（1）解：∵$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$，又$2\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GO}$，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GO}$$=-\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$。

（2）证明：∵＝(a＋b)，

又∵$G$是$\Delta ABO$的重心，

∴$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)$。

由$P,G,Q$三点共线，得$\overrightarrow{PG}//\overrightarrow{GQ},$，

∴有且只有一个实数$\lambda $，使$\overrightarrow{PG}=\lambda \overrightarrow{GQ}$，

而$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)-m\overrightarrow{a}=\left( \frac{1}{3}-m \right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{b}$，

$\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OG}=n\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\ \overrightarrow{b} \right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\left( n-\frac{1}{3} \right)\overrightarrow{b}$，

∴$\left( \frac{1}{3}-m \right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{b}=\lambda \left[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\left( n-\frac{1}{3} \right)\overrightarrow{b} \right]$，

又∵$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$不共线，∴$\left\{ \begin{matrix}   \frac{1}{3}-m=-\frac{1}{3}\lambda   \\   \frac{1}{3}=\lambda \left( n-\frac{1}{3} \right)  \\\end{matrix} \right.$，

消去$\lambda $，整理得$3mn=m+n$，∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$。