高考数学必做百题第07题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第09题(理科2017版)
008.已知点G是ΔABO的重心,M是AB边的中点。
(1)求→GA+→GB+→GO;
(2)若PQ过ΔABO的重心G,且→OA=→a,→OB=→b,→OP=m→a,→OQ=n→b,求证:1m+1n=3。
(1)解:∵→GA+→GB=2→GM,又2→GM=−→GO,∴→GA+→GB+→GO=−→GO+→GO=→0。
(2)证明:∵=(a+b),
又∵G是ΔABO的重心,
∴→OG=23→OM=13(→a+ →b)。
由P,G,Q三点共线,得→PG//→GQ,,
∴有且只有一个实数λ,使→PG=λ→GQ,
而→PG=→OG−→OP=13(→a+ →b)−m→a=(13−m)→a+13 →b,
→GQ=→OQ−→OG=n→b−13(→a+ →b)=−13→a+(n−13)→b,
∴(13−m)→a+13 →b=λ[−13→a+(n−13)→b],
又∵→a, →b不共线,∴{13−m=−13λ13=λ(n−13),
消去λ,整理得3mn=m+n,∴1m+1n=3。
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