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高考数学必做百题第08题(理科2017版)

 008.已知点GΔABO的重心,MAB边的中点。

(1)求GA+GB+GO
(2)若PQΔABO的重心G,且OA=aOB=bOP=maOQ=nb,求证:1m+1n=3
(1)解:∵GA+GB=2GM,又2GM=GO,∴GA+GB+GO=GO+GO=0
(2)证明:∵=(a+b),
又∵GΔABO的重心,
OG=23OM=13(a+ b)
P,G,Q三点共线,得PG//GQ,
∴有且只有一个实数λ,使PG=λGQ
PG=OGOP=13(a+ b)ma=(13m)a+13 b
GQ=OQOG=nb13(a+ b)=13a+(n13)b
(13m)a+13 b=λ[13a+(n13)b]
又∵a, b不共线,∴{13m=13λ13=λ(n13)
消去λ,整理得3mn=m+n,∴1m+1n=3
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